Sur cette page vous trouvez des sujets d'examens de Résistance des matériaux avec des propositions de solutions détaillées.

EXERCICE 1

Déterminer l'effort maximal dans les barres d'un élévateur en treillis sous l'effet d'une charge de 20 kN (Figure 1). Quelle est la valeur de l'effort maximal pour un appui simple en A?

EXERCICE 2

Soit une poutre en acier (E=2.1x10⁵ N/mm² ) de section carrée de 150mm x 150mm reposant sur un appui simple en A et encastrée en B.
a- Tracer les diagrammes de l'effort tranchant et du moment fléchissant.
b- Déterminer le tassement de l'appui A si le sol en ce point est élastique avec une raideur equivalente K=2.4x10³ kN/m. Déduire la flèche en A si l'appui en ce point est inexistant.

Comparer les réactions à l'encastrement dans les trois cas (appui simple, avec tassement et sans appui).

CORRIGÉ

EXERCICE 1

En utilisant les équations différentielles de la déformée, déterminer la flèche maximale d'une poutre reposant sur deux appuis: simple et double, et soumise à une charge uniformément répartie sur toute sa longueur.

Si la poutre a une section symétrique en I, et constituée d'un matériau dont le module d'élasticité est de 185×10⁹ N/m², la contrainte admissible est de 125× 10⁶ N/m², montrer que la flèche maximale peut-être écrite sous la forme f_max = KL² / d, où L est la portée de la poutre et d la hauteur de la section. Trouver la valeur de K.

EXERCICE 2

Le treillis représenté dans la Figure 1 est destiné à supporter une charge P pouvant pivoter autour de l'axe de rotation du noeud B.

1- Déterminer les efforts dans les barres du treillis quand la direction de la charge P est inclinée d'un angle α par rapport à la verticale.

2- Si les directions les plus défavorables de la charge P coïncident avec α = 45° et 90°, déterminer la valeur maximale P_max que le système puisse supporter sachant que toutes les barres sont en bois de sections carrées de 15 cm de coté, [σ_- ] = 70 kgf/cm², [σ₊ ] = 100 kgf/cm², E = 10⁵ kgf/cm², n_st = 2, λ_lim = 80.

EXERCICE 3

Soit la poutre hyperstatique de la Figure2. Etant donnés P = 2 t, q = 1 t/ml, et a = 1 m; déterminer les réactions aux appuis et la flèche maximale.

CORRIGÉ

EXERCICE 1

Soient deux colonnes de même hauteur L, l'une est constituée de deux barres parallèles, et l'autre de deux tronçons de barres coaxiallement soudés, chaque barre supporte une force de compression P (Figure 1).

- Etant données E₁ = 200 kN/mm², E₂ = 120 kN/mm², A₁ = 2400 mm², A₂ = 3500 mm², L₁ = 1 m, L₂ = 2m et P = 75 kN.

1) Calculer les efforts axiaux et les déformations dans chaque barre (et tronçon).

) Déterminer l'expression de la rigidité équivalente K = EA / L pour le cas d'un système de n barres parallèles, et pour le cas de n tronçons en série en fonction des rigidités K_i =E_i A_i / L_i de chaque tronçon.

EXERCICE 2

Une structure est composé d'une poutre horizontale AB articulée au point B à une autre poutre dont la ligne moyenne décrit un quart de cercle BC (Figure 2).

1) Tracer les diagrammes de l'effort normal, l'effort tranchant et du moment fléchissant sous le cas de charge représenté sur la Figure 2.

2) La poutre AB a une section en T de 60 mm de hauteur, 25 mm de largeur, et de 5 mm d'épaisseur de l'âme et de la semelle.

Quelle est la disposition rationnelle de la section de la poutre AB (a ou b). Vérifier dans ce cas sa résistance. On donne le module d'élasticité E = 200 kN/mm² et la contrainte admissible [σ] = 130 N/mm².

3) Pour la poutre en arc on utilise une section rectangulaire du même matériau et ayant le rapport h / b = 2.5. En supposant que la section dangereuse coïncide avec le moment fléchissant maximal et en négligeant l'effet de l'effort tranchant au niveau de cette section, calculer la hauteur h.

Les formes des sections sont-elles bien choisies en fonction du type et de l'intensité des sollicitations dans la poutre et l'arc?

CORRIGÉ

EXERCICE 1

Un cylindre creux de diamètre extérieur D = 20 mm et intérieur d = 16 mm est sollicité par un effort axial de traction égal à 10 kN et un moment de torsion de 60 N.m.

1. Définir l'état de contrainte supposé plan au point A, c.a.d déterminer σ_x, σ_y, τ_xy (Figure 1). Tracer le cercle de Mohr correspondant.

2. Vérifier la résistance de l'élément au point A, en utilisant le premier, le deuxième, et le troisième critère de résistance, sachant que le module d'élasticité E = 210 kN/mm², la contrainte normale admissible [σ] = 160 N/mm², la contrainte tangentielle admissible

[τ] = 80 N/mm², la déformation admissible [ε] = 10^-3 et le coefficient de Poisson ν =0.3.

EXERCICE 2

Un portique ABC est articulé au point C et relié à une colonne CD de section circulaire de diamètre d.

1) Tracer les diagrammes de l'effort normal, l'effort tranchant et du moment fléchissant sous le cas de charge représenté sur la Figure 2.

2) Le portique ABC a une section rectangulaire creuse de 120 mm de hauteur, 60 mm de largeur, et 10 mm d'épaisseur.

Vérifier la résistance du portique ABC, et dimensionner la colonne CD à la stabilité sachant que le module d'élasticité E = 210 kN/mm², la contrainte admissible [σ] = 160 N/mm², le coefficient de stabilité n_st = 2 et λ_lim = 100.

CORRIGÉ

EXERCICE

Vérifier la résistance de la poutre (a) sachant que la forme de sa section droite est un triangle isocèle de hauteur h = 120 mm et de base b = 60 mm, constituée d'un matériau ayant la contrainte admissible de compression [σ_-] = 200 N/mm² et de traction [σ₊] = 300 N/mm².

- La poutre résiste-t-elle si on découpe la section de 15 mm à partir du sommet (Figure 1.b)? Commenter les résultats obtenus.

- Déterminer le rapport de la flèche maximale dans les deux cas (section triangulaire et trapézoïdale).

- Comparer le moment maximal de la poutre (a) avec celui de (c) quand on remplace l'articulation C et l'extrémité libre A par des appuis simples.

- Comment peut-on déterminer le module d'élasticité du matériau de la poutre à l'aide d'une seule jauge électrique (1 seule mesure de déformation)?

NB: Les questions sont independantes.

CORRIGÉ

EXERCICE 1

Soit un poteau de la communication de grande hauteur (antenne) constitué de 3 parties de sections cylindriques ayant les diamètres extérieurs D₁, D₂, et D₃ et le diamètre intérieur d.

Le poteau est situé au Sahara, sous l'effet du changement de température les trois parties subissent des allongements verticaux ∆h₁, ∆h₂ et ∆h₃. Pour la stabilité verticale du poteau on est obligé de le fixer par des câbles en acier de diamètre égal à 10 mm. les lignes moyennes des câbles sont confondues avec les axes des forces tenant le poteau et supposées agir sur l'axe du poteau (Figure 1).

Verifier la résistance des câbles et la stabilité de chaque tronçon du poteau considéré comme encastré aux extremités.

On donne: ∆h₁ = 1 mm, ∆h₂ = 0.75 mm, ∆h₃= 0.5 mm E = 2.1 x 10⁵ N/mm², [σ] = 160 N/mm² et λ_lim = 100.

EXERCICE 2

Pour le matériaux de la poutre en T (Figure 2) la limite élastique en traction est 2 fois celle de la compression.

Calculer la hauteur h de la section qui permet une utilisation rationnelle du matériau lors d'une sollicitation en flexion. (c.a.d) les contraintes dans les fibres extrêmes tendues et comprimées atteignent leurs limites admissibles en même temps.)

CORRIGÉ

EXERCICE 1

Soit un portique ABC composé de deux éléments: AC est une poutre curviligne, dont la ligne moyenne décrit 1/4 de cercle, est simplement appuyée en A et articulée en C.

BC est une poutre inclinée, encastrée en B et articulée en C.

Ecrire les expressions analytiques et tracer les diagrammes des efforts internes sous l'effet d'une charge uniformément répartie (Figure 1).

EXERCICE 2

Déterminer l'aire et le moment d'inertie de la section droite I_z d'une bande de plaque métallique ondulée de largeur L utilisée comme coffrage perdu dans les planchers collaborants.

L'épaisseur de la plaque e est constante suivant yy (Figure 2) et la ligne moyenne des ondulations est exprimée par: y = A cos ωz.

EXERCICE 3

Pourquoi le flambement d'une poutre droite soumise à la compression est considéré comme un phénomène d'instabilité?

CORRIGÉ

EXERCICE 1

Dimensionner le système en treillis schématisé sur la Figure 1, sachant que la section des barres est circulaire, la contrainte admissible [σ] = 160 N/mm², le module d'élasticité E = 2.1 × 10⁵ N/mm², le coefficient de stabilité n_st = 2 et λ_lim = 100.

EXERCICE 2

Classer les formes des sections des poutres de la Figure 2 en fonction de leurs efforts de résistance maximale à la flexion pure, à l'effort tranchant, au cisaillement, à la torsion et à la stabilité élastique (compression); Sachant qu'elles sont constituées du même matériau et leurs aires des sections sont égales.

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