Dimensionnement des sections en béton armé sous contraintes normales à ELU

Béton Armé

II. Calcul béton armé

I. Introduction au calcul

II. Vérification des sections sous contraintes normales - ELS

III. Vérification des sections sous contraintes normales – ELU

IV. Dimensionnement des sections sous contraintes normales – ELS

V. Dimensionnement des sections sous contraintes normales – ELU

VI. Vérification des sections sous sollicitations tangentes – ELU

Dans ce qui suit vous trouvez la table des matières et le contenu du cours.

Sur cette page vous trouvez uniquement la méthode du calcul béton armé.
Alors si vous cherchez les caractéristiques du béton armé comme matériaux de construction allez dans cette page .

V. Dimensionnement des sections sous contraintes normales – ELU

V.1. Hypothèses générales de calcul et conditions

V.2. Dimensionnement des éléments courants

V.2.a. Traction simple

V.2.b. Compression simple (compression centrée)

V.2.c. Flexion simple

V.1. Hypothèses générales de calcul et conditions

■ Les hypothèses détaillées lors de l’élaboration des méthodes de vérification à l’ELU restent valables : voir les § III.1 et III.2 du onglet 3

V.2. Dimensionnement des éléments courants

V.2.a. Traction simple

■ N _ELU connu
Dimensionnement (Etat limite ultime de sollicitations) :

En outre, les dispositions constructives relatives aux armatures longitudinales et transversales citées au § IV.2.a restent applicables.

V.2.b. Compression simple (compression centrée)

a, b les côtés du poteau avec a < b et l _f connues
N _ELU connu

Dimensionnement :

avec B _r section réduite du poteau et α coefficient fonction de λ (cf. III.3.b.2 ).

En outre, les dispositions constructives relatives aux armatures longitudinales et transversales citées au § IV.2.b restent applicables.

V.2.c. Flexion simple

Le dimensionnement aux ELU est généralement le critère prépondérant pour les conditions de fissuration peu préjudiciable (FPP) situation rare sur les ouvrages de travaux publics. C’est pourquoi le dimensionnement aux ELU est généralement entrepris pour les éléments de bâtiment. Il est logiquement suivi d’une vérification aux ELS.

Lorsqu’il s’agit de dimensionner une poutre en flexion, les inconnues sont tout autant les côtes de la section de béton (h et b) que les sections d’acier ( A_st et A_sc )

Pratiquement, on se donne « à priori » la section de béton et le calcul se passe ensuite en deux temps :

1. Evaluation de la capacité de la section béton à reprendre le moment de flexion sans armatures comprimées → comparaison de la droite de déformation réelle aux deux droites de déformations suivantes :
» Droite A – B (passant par les pivots A et B)
» Droite ε _se - B (passant par la déformation acier tendu ε _se =2‰ et le pivot B)

2. Dimensionnement effective des armatures tendues et éventuellement des armatures comprimées.

L’ensemble des calcul sont menés avec le diagramme rectangulaire simplifié.

1. Caractérisation des droites de déformation A – B et ε _se - B

Celles ci s’obtiennent dans l’hypothèse de l’absence d’armatures comprimées.

Bilan des efforts extérieurs et PFS :

■ F_st , F_b et M.
■

Données :

d, b et h connues

Figure V-1 Diagrammes des déformations limites (ELU)

Droite de déformation A - B

Cette droite de déformation est la droite passant par les pivots A et B simultanément.

■ Expression de

■ Expression du moment correspondant

■ Expression du moment réduit correspondant

Droite de déformation ε _se - B

Cette droite de déformation est la droite passant par la déformation ε _se et B simultanément.

Rappel :

■ Expression de

■ Expression du moment correspondant soit en fonction de

■ Expression du moment réduit correspondant

La dernière équation fournit aussi la relation inverse :

Récapitulatif

■ Les diverses valeurs expression de la droite de déformation A – B sont des constantes.

■ Les diverses valeurs expression de la droite de déformation ε _se – B sont fonction uniquement du type d’acier.

Le tableau suivant donne les valeurs pour les deux nuances d’acier principales.

Tableau V-1 Tableau récapitulatif des 2 droites de déformation caractéristiques à l’ELU

2. Initialisation du calcul et détermination de la nécessité éventuelle d’aciers comprimés

Bilan des efforts extérieurs et PFS :

■ F_st , F_b et M.
■

Données :

d, b et h connues
M _ELU connu

Calculs initiaux :

1. Calculer le moment réduit réel tel que

2. En déduire

3. Détermination du type de pivot et de l’existence d’aciers comprimés.

: pivot A – zone 1 : les aciers travaillent au maximum de leur déformation (On ne peut dépasser la limite du pivot A pour les aciers !), par contre le béton est en dessous de sa limite en déformation. Pas besoin d’armatures comprimés.

: pivot B – zone 2 : c'est le béton qui travaille au maximum de sa déformation (On ne peut dépasser la limite du pivot B pour le béton !) et l'acier qui, tout en restant dans le domaine plastique, travaille en deçà de sa limite de déformation. Pas besoin d’armatures comprimés.

: pivot B avec armatures comprimées nécessaires (On ne dépasse toujours pas la déformation limite du béton, en revanche la contrainte dans le béton dépasserait sa limite si des armatures comprimées ne sont pas ajoutées. D'autre part, on ne permet pas à l'acier de passer en deçà de sa limite élastique en déformation). Si aucune armatures comprimées n'étaient ajoutées, on passerait dans la zone 3.

3. Section rectangulaire sans armatures comprimées (cas μ _ELU ≤ μ _{ε _se–B} )

Dimensionnement (Etat limite ultime de sollicitations) :

4. Section rectangulaire avec armatures comprimées (cas μ _ELU ≥ μ _{ε _se–B} )

Le problème est décomposé en deux sous - problèmes précisés dans le graphique suivant :

Figure V-2 Décomposition et diagrammes (déformation, contrainte normale et résultantes) à l'ELU en dimensionnement avec aciers comprimés

Le principe de superposition va permettre d’additionner les différentes sections d’aciers obtenues.

Bilan des efforts extérieurs et PFS :

■ Problème 1 : voir les calculs détaillés sur « Droite de déformation ε _se - B »

■ Problème 2 :

Données :

d, d’, b, h et x_{ε _se -B} (donc Z_{ε_se -B} aussi) connues
M_{ε_se -B} et M_ELU connus

Equations de dimensionnement :

■ Problème 1 :

■ Problème 2 :

Il vient alors :

La seule inconnue dans cette équation est σ_sc , la contrainte dans les aciers comprimés.

Détermination de σ_sc :

si on se situe dans le domaine élastique, c’est à dire que

si on se situe dans le domaine plastique, c’est à dire que

On a (Thalès)

Il vient alors

5. Section en Té sans (ou exceptionnellement avec) armatures comprimées :

Deux cas peuvent se présenter :
■ Cas 1 : Seule tout ou partie de la table de compression est comprimée (la nervure restant une zone tendue)
■ Cas 2 : En plus de la table, une partie de la nervure est comprimée.

L’évaluation de la situation s’effectue en calculant le moment de table ultime M _Tu

Evaluation du moment de table M_Tu :

M_Tuest le moment maximum que peut reprendre la section lorsque la totalité de la table (mais seulement la table) est comprimée.

Hypothèses :
■ On suppose que toute la table et seulement la table de compression est comprimée.
■ On suppose aussi que la répartition de contrainte est rectangulaire simplifiée.

Figure V-3 Diagramme des contraintes et bilan des résultantes induits par M_Tu

On a toujours
Il vient alors

Condition à vérifier et conclusions :

■ M_Tu ≥ M_ELU → la table de compression est partiellement comprimée (l’axe neutre est dans la table) → les calculs se ramènent à un cas classique de section purement rectangulaire.

■ M_Tu < M_ELU → la table mais aussi une partie de la nervure est comprimée (l’axe neutre est dans la nervure) → voir le paragraphe suivant.

Dimensionnement dans le cas M_Tu < M_ELU (une partie de la nervure est comprimée)

Le problème est décomposé en deux sous - problèmes précisés dans le graphique suivant :

Figure V-4 Décomposition des sections en Té à l'ELU en dimensionnement avec aciers comprimés

Le principe de superposition va permettre d’additionner les différentes sections d’aciers obtenues avec :

■ Problème 1 : M_Tu1 est le moment équilibrant la table de compression retranchée de sa partie centrale de largeur b₀ . Les conditions sont les mêmes que lors du calcul de M_Tu , il vient alors :

■ Problème 2 : est le moment résiduel repris par la nervure seule assimilable à une poutre de largeur b₀ .
Le calcul se conduit de la même manière que pour une section de poutre classique. Si > M_rb , il faudra rajouter des aciers comprimés. Mais cette éventualité doit être très rare puisque les sections en Té sont souvent dimensionnées pour ne pas nécessiter d’armatures comprimées.